Міністерство освіти та науки України Національний університет “Львівська політехніка” Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій Кафедра автоматизованих систем управління Лабораторна робота № 1 з курсу "Теорія алгоритмів і математичні основи представлення знань" на тему " Складність алгоритмів. Реалізація на ПЕОМ цілочислових арифметичних операцій багатократної точності " Тема: Складність алгоритмів. Реалізація на ПЕОМ цілочислових арифметичних операцій багатократної точності. Мета: 1) експериментально дати оцінку складності елементарних арифметичних функцій мов програмування типу Паскаль; 2)забезпечити засобами мови Паскаль або Си емуляцію арифметичних операцій додавання, віднімання, множення i ділення натуральних чисел багатократної точності й оцінити їх складність. I. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ Практично важливим напрямком, що вивчає теорія алгоритмів є дослідження й аналіз їх, складності [2,4]. 1. Однією із задач аналізу алгоритмів є необхідність отримання оцінок для об'єму часу, що необхідно алгоритму для обробки конкретних даних. Досить часто, тільки на практиці програміст переконується, що його програма в змозі обробити вхідні дані тільки через декілька діб безперервної роботи ЕОМ. Крім того, необхідно порівнювати ефективність, складність (час роботи, пам'ять) алгоритмів, що ров"язують одну й ту ж задачу. Нехай А - алгоритм для розв"язування задач деякого класу К, а число n - розмірність окремої задачі з К (кількість змінних, слів у тексті і т.п.) Визначимо fа(n) як функцію складності, що визначає верхню межу для максимальної кількості основних операцій (додавання, порівняння і т.п.), які повинен виконати алгоритм А для розв"язку будь якої задачі розмірності n. Будемо користуватися наступним критерієм оцінки складності А. Алгоритм А має поліноміальну складність, коли fa(n) зростає не швидше, ніж поліном від n, у протилежному випадку алгоритм А експоненційний. Цей критерії базується на часі роботи у найгіршому випадку. Основою для цього критерію складнсті є машинні експерименти, що продемонстрували, що реальні послідовні або паралельні ЕОМ більш меньш здатні сприймати і ефективно реалізовувати поліноміальні алгоритми для великих задач, а експоненційні алгоритми вони не в змозі "реалізувати" за практично сприйнятний час. Більш формально, функцію складності fa(n) визначають як O(g(x)) і кажуть, що вона має порядок g(n) для великих n, якщо f(n) lim ------- = constanta = a, a>0. n->

g(n) Це позначується, як f(n) = O(g(n)). Функція h(n) є o(z(n)) для великих n, якщо h(n) lim ------- = 0. n->
z(n) Змістовно, якщо 1) fa(n) є O(g(x)), то ці дві функції , по суті, зростають з однаковою швидкістю; 2) якщо fa(n) є o(g(x)), то g(n) зростає набагато швидше, ніж fa(n). Іншими словами, функція f(x) має порядок O(g(x)), якщо знайдеться константа С і f(x) <= C*g(x) для всіх x, крім скінченної (можливо, пустої) множини значень, або, що те саме, завжди знайдеться таке n 40 0, що f(x) <= C*g(x) для всіх x, де x >= n 40 і x > 0. Розвиток теорії складності обчислень йшов по чотирьом напрямкам : 1) абстрактна (машино-незалежна) складність: 2) машинно-залежна складність;3) складність конкретних задач і алгоритмів; 4)експерементальна (ЕОМ-залежна) складність. У першому із них обчислювальні моделі і міри складності визначаються аксиоматично і вивчаються найбільш загальні властивості складності алгоритмічних функцій. Доведені теореми про "стискування" і "прискорення". Перша із них стверджує про існування функцій будь якої складності, що оптимально реалізуються. Друга стверджує про існування функцій, кожне обчислення яких можна "прискорити", тобто функцій, для яких не існють оптимальні обчислення. Другий напрям пов"язаний з дослідженням складності обчислень на конкретних моделях обчислювальних пристроїв и реальних ЕОМ. В цій галузі однією із дуже відомих невирішених проблем є проблема " Р – і NP - складності": чи співпадає клас P функцій, що обчислюються за поліноміальний час на машинах Тюрінга (послідовних ЕОМ), з класом NP...